preskoči na sadržaj

Pitagora i geometrija

Drevne su civilizacije mnoge načine opisivanja svijeta oko sebe, a jedna je od temeljnih bio teorija geometrijskih odnosa. Kad su ljudi počeli podizati građevine, umijeće izračunavanja dimenzija postalo je vrlo važno. Veliki graditelji staroga svijeta, Babilonjani i Egipćani, pisali su rasprave o geometriji. Samoj su znanosti ime dali Grci, a izvorno mu je značenje „zemljomjerstvo“.


Praktična pitanja koja su postavljali Babilonjani sačuvana su na glinenim pločicama starim 4000 godina. Evo i primjera: „Greda duga 30 prislonjena je na zid; ako joj vrh spustimo za 6, koliko će joj se odmaknuti donji kraj?“

Rješavanje problema

Ne postoje čvrsti dokazi o tome kako je glasio njihov odgovor na to pitanje. Vjerojatno su u rješavanju krenuli od izravnog mjerenja, jer su pronađene tablice s dimenzijama čitavog niza pravokutnih trokuta, a njima je zacijelo bio poznat pravokutni trokut sa stranicama u omjeru 3:4:5. To je omjer koji najjasnije upućuje na ono što je kasnije prostalo kao Pitagorin poučak: kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbroju kvadrata nad objema katetama, tj. 52 = 42 + 32.

Iako ne postoje dokazi da su taj teorem izveli već Egipćani, Babilonjanima je to pravilo zacijelo bilo poznato, a Tales (iz 6. stoljeća pr. Kr.), čovjek kojega su Grci proglasili svojim prvim geometrom, zacijelo je mnogo naučio iz babilonskih izvora. Izvjesno je, međutim, da taj teorem nije Pitagorin. On mu je u zaslugu pripisan tek mnogo kasnije.

Religija i brojevi

Pitagora, koji je umro oko 490. pr. Kr. u južnoj je Italiji osnovao religijsko bratstvo. Za sobom nije ostavio nikakvih vlastitih spisa, pa pojedinosti o njegovu životu i učenju znamo samo zahvaljujući djelima njegovih učenika. Prema njima, Pitagora se rodio na grčkom otoku Samosu kao sin trgovca Mnesarha. Na 48. olimpijadi (554. pr. Kr.) Pitagora se natjecao kao boksač i postao prvak u teškoj kategoriji, a onda krenuo na niz dugih putovanja po Bliskom istoku. Kad se vratio, osnovao je bratstvo u grčkoj koloniji Krotonu na jugu Italije. To se dogodilo oko 529. pr. Kr.

Pitagorino je učenje u prvi mah doživjelo velik uspjeh, a njegovu su filozofiju prihvatili u mnogim zapadnim grčkim kolonijama. On je, međutim, podupirao ideje aristokracije, što se sukobljavalo s grčkim demokratskim idealom, pa je nakon nekog vremena Pitagorino miješanje u politiku dovelo do ustanka, a potom i do pokolja većine članova njegova bratstva. Pitagora se potom preselio na sjever, u koloniju Metapont, gdje je ostao sve do smrti.

Pitagorin nauk

Njegov je nauk, međutim nastavio živjeti. Njega je, skoro, nepromijenjenog, iznio Platon u Timeju (oko 350. pr. Kr.), nakon čega je na nekoliko stoljeća otišao u ilegalu, da bi se ponovno pojavio u 3. stoljeću kod neoplatonista, a u 6. stoljeću bio inkorporiran u kršćansku filozofiju.

Što je Pitagora naučavao? Temelj njegove doktrine izveden je iz ideja koje je zacijelo pokupio za svojih putovanja po Bliskom istoku, bila je misao da je svemir božanska tvorevina te da je u njemu čovjeku određeno da nadvlada svoju životinjsku narav i razvije božansku. S tim je bilo povezano i njegovo vjerovanje u seljenje duša. Njegova se doktrina, međutim, razlikovala od drugih po inzistiranju na brojevima i srodnim disciplinama: geometriji, aritmetici i glazbi. Ili, kako veli dobro poznato Pitagorino načelo: „sve je broj“.

Vjerojatno je najveće Pitagorino otkriće bila spoznaja da harmonijski intervali u glazbi stoje u vrlo jednostavnim brojčanim omjerima. Pod uvjetom da je žica jednako napeta, ona će, ako joj prepolovimo dužinu, odsvirati oktavu; kvintu ako joj duljinu smanjimo na dvije trećine, i kvartu ako joj duljinu smanjimo na tri četvrtine. Krenuvši od tog praktičnog početka, pitagorejski su filozofi ustvrdili da su sve prirodne pojave po svojoj naravi harmonijske. Tako i nebesa, tvrdili su oni, tvore „glazbenu ljestvicu i niz brojeva“. To je bila ideja kojoj će se poslije otprilike 2000 godina vratiti Johannes Kepler (1571-1630), kad bude pokušavao dovesti u međusobnu vezu eliptične putanje planeta. Pitagorejci su numerički identitet davali čak i takvim apstraktnim pojmovima kao što su razum, pravda i brak.

Matematičare pitagorejske škole fascinirali su brojevi i odnosi među njima. Oni su slagali kamenčiće u figure i odbacivali misao da je broj samo oznaka količine te su tako postavili ideju mistične i magične naravi broja, što je zapravo bila prethodnica apstraktnih proračuna „čiste“ matematike.

Oblici i likovi

Za njih je primjer toga bio „sveti tetraktis“. On predstavlja broj 10. Sastavljen je od brojeva1+2+3+4, složenih u četiri reda točaka u trokutnom uzorku, s jednom točkom na vrhu, dvije u drugom redu i tako dalje. Potom su tome dodavali nove redove točaka te tako otkrili da se zbroj svakog niza brojeva, počevši od 1, može uvijek prikazati kao trokut. Sličan niz neparnih brojeva daje kvadrat, a niz parnih brojeva pravokutnik.

Kažu da je sam Pitagora izveo opću formulu za otkrivanje dvaju kvadrata koji zajedno daju treći, i nesumnjivo je baš zbog toga po njemu nazvan geometrijski teorem koji povezuje tri stranice pravokutnog trokuta.

Građa svijeta

U pitagorejskoj filozofiji, broj 1 se povezuje s točkom, broj 2 s crtom, broj 3 s plohom i 4 s tijelom. Pravilna geometrijska tijela obdarena su posebnim magičnim svojstvima i vjerojatno su baš zato pitagorejci među prvima iskazali misao da je Zemlja kugla, te da se nebesa oko nje vrte u sferama. Oni su otkrili geometrijsku konstrukciju četveroplošnog tetraedra, oktaedra (s osam ploha), dodekaedra (s dvanaest ploha) te ikozaedra (s 20 ploha). Proučavajući plošnu geometriju, došli su do važnog otkrića da se omjer stranice kvadrata i njegove dijagonale ne može izraziti omjerom dvaju cijelih brojeva. Oni su čak napravili nekoliko koraka i prema apstraktnom računanju, koje su kasnije razvili Arapi, a danas ga zovemo algebrom.

Euklid i logika

Matematička načela koja su otkrili pitagorejci skupljena su u opsežnom djelu Elementi, koji je oko 300. pr. Kr. napisao grčki matematičar Euklid. On je razvoju matematike najviše doprinio time što je odbacio mistične teorije i poslužio se deduktivnom logikom, krenuvši od iskazivanja jasno definiranih aksioma – primjerice da se paralelni pravci sijeku u beskonačnosti – te dokazivanjem koje je vodilo do zaključka korak po korak. On bi počeo s tvrdnjom koju je trebalo dokazati, te završavao trijumfalnom izrekom „što je i trebalo dokazati“, ili latinski „quod erat demonstrandum“.

Unatoč tome što su od 17. stoljeća nadalje napravljena mnoga geometrijska otkrića, Euklidovi su Elementi ostali osnovnim školskim udžbenikom geometrije sve do duboko u naše stoljeće. Proces koji su pokrenuli religijski i mistično motivirani Pitagorejci doveo je 200 godina poslije Pitagorine smrti do otkrića načela na kojima počiva golem dio moderne znanosti.



Tekst je izvorno objavljen u 28. broju časopisa Drvo znanja i nije ga dopušteno prenositi.

| 29. 11. 2007. u 00:00 sati | RSS | print | pošalji link |


Edu.hr portal Forum CARNetovog Portala za škole namijenjen učenicima, nastavnicima i zaposlenicima hrvatskih škola Nacionalni portal za učenje na daljinu Moodle Edu.hr portal CMS za škole CARNetova korisnička konferencija Elektronički identitet

Učenički radovi

Salzburg

Donosimo vam prezentaciju Petre Maravić, učenice 7. razreda Osnovne škole Ivana Brlić-Mažuranić, PŠ Drežnica o austrijskom gradu Salzburgu. Prezentacija je napravljena na satu...

Nastavni materijali

Veliko i malo slovo DŽ dž

OŠ HJ A.1.1. Učenik razgovara i govori u skladu s jezičnim razvojem izražavajući svoje potrebe, misli i osjećaje. OŠ HJ A.1.3. Učenik čita tekstove primjerene početnomu opismenjavanju i jezičnome razvoju....

1874. - na svečanom otvorenju Sveučilišta, ban Ivan Mažuranić...

Copyright © 2010 CARNET. Sva prava pridržana | Uvjeti korištenja | Impressum

A A A  |  

Mail to portal@CARNET.hr




preskoči na navigaciju
admin@raspored-sati.hr www-root@raspored-sati.hr ivan@raspored-sati.hr ivana.tolj@raspored-sati.hr marko.horvatovic@raspored-sati.hr www-root@donja-dubrava.hr analiza@donja-dubrava.hr pretinac@donja-dubrava.hr pajo.pajic@donja-dubrava.hr coran.goric@donja-dubrava.hr ivana@donja-dubrava.hr marijana@marijana-tkalec1.from.hr marijana.tkalec@marijana-tkalec1.from.hr mt@marijana-tkalec1.from.hr http://marijana-tkalec1.from.hr http://web.marijana-tkalec1.from.hr http://www.marijana-tkalec1.from.hr